Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Đề số 1 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm là G. Biết rằng AB=6 và AC=8. Tính độ dài của các véc tơ \(\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} \).

Câu 2. Cho hai hình bình hành ABCD và AMNP có chung đỉnh A. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {DP}  = \overrightarrow {CN} \).

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác OCD. Hãy biểu thị \(\overrightarrow {BG} \) theo các véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Theo định lí Pitago ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {36 + 64}  = 10\)

Ta có \(\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {CB} \) . Suy ra \(\left| {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 10\)

Gọi M là trung điểm BC. Ta có \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM} \) .

Mà \(GM = \dfrac{1 }{3}AM = \dfrac{1 }{6}BC = \dfrac{10} {6} = \dfrac{5 }{ 3}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GM} } \right| = 2GM = \dfrac{10}{3}\)

Câu 2.

Ta có

\(\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {DP}  \)

\(= \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AD} \)           

\( = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AP} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \)

\(= \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CN} \)

Câu 3.

Ta có:

\(\eqalign{ & \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BO}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right)  \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AO}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left[ { - 3\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right]  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left( { - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{5}{2}\overrightarrow {AC} } \right) =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} {\text{ }} \cr} \)