Câu 46 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):

LG a

\({1 \over {\sqrt {20,3} }}\).

Hướng dẫn : Xét hàm số \(y = {1 \over {\sqrt x }}\) tại điểm \({x_0} = 20,25 = 4,{5^2}\,\text{ với }\,\Delta x = 0,05\)

Phương pháp giải:

Công thức tính gần đúng \[f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\]

Lời giải chi tiết:

Vì \({1 \over {\sqrt {20,3} }} = {1 \over {\sqrt {20,25 + 0,05} }}\) nên ta xét hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x }}\,\text{ tại }\,{x_0} = 20,25\) và \(\Delta x = 0,05.\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{ - \left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}\) \( = \frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} =- \frac{1}{{2x\sqrt x }} \)

Với \(\Delta x = 0,05.\) Ta có :

\(\eqalign{  & f\left( {{x_0}} \right) = {1 \over {\sqrt {20,25} }} = {1 \over {4,5}}  \cr  & f'\left( {{x_0}} \right) =  - {1 \over {2.20,25.\sqrt {20,25} }} \cr & =  - {1 \over {182,25}} \cr} \)

Do đó :

\(\eqalign{  & {1 \over {\sqrt {20,3} }} = f\left( {20,3} \right) = f\left( {{x_0} + 0,05} \right)  \cr  &  = f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).0,05 \cr &= {1 \over {4,5}} - {{0,05} \over {182,25}} \approx 0,222 \cr} \)

LG b

tan29˚30’.

Hướng dẫn : Xét hàm số y = tanx tại điểm \({x_0} = {\pi  \over 6}\,\text{ với }\,\Delta x =  - {\pi  \over {360}}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\tan 29^\circ 30' = \tan \left( {{\pi  \over 6} - {\pi  \over {360}}} \right)\) nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại \({x_0} = {\pi  \over 6}\).

Ta có: \[f'\left( x \right) = \left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\]

Với \(\Delta x =  - {\pi  \over {360}}.\) Ta có:

\(\eqalign{  & f\left( {{x_0}} \right) = \tan {\pi  \over 6} = {1 \over {\sqrt 3 }}  \cr  & f'\left( {{x_0}} \right) = 1 + {\tan ^2}{\pi  \over 6} = {4 \over 3}. \cr} \)

Do đó :

\(\tan \left( {{\pi  \over 6} - {\pi  \over {360}}} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)

                           \(= {1 \over {\sqrt 3 }} + {4 \over 3}\left( { - {\pi  \over {360}}} \right) \approx 0,566\)