Câu 43 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\(u_1\) = 1 và u_{n + 1} = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1.

LG a

Chứng minh rằng dãy số (v_n), với v_n = u_n + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

Phương pháp giải:

Cộng cả hai vế của đẳng thức đã cho với 2 để làm xuất hiện \(v_{n+1}\) và \(v_n\)

Lời giải chi tiết:

Với mọi n ≥ 1, ta có :

\({u_{n + 1}} = 5{u_n} + 8\)

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5{u_n} + 10 \)

\(\Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5\left( {{u_n} + 2} \right) \)

\(\Rightarrow {v_{n + 1}} = 5{v_n}\)

Do đó (v_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3\) và công bội q = 5.

Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)

LG b

Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa \(v_n\) và \(u_n\) kết hợp với số hạng TQ đã tìm được ở câu a để suy ra \(u_n\).

Lời giải chi tiết:

\({v_n} = {u_n} + 2 \)

\(\Rightarrow {u_n} = {v_n} - 2 = {3.5^{n - 1}} - 2\) với mọi \(n ≥ 1\)