Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu u₁, u₂, u₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u₁, u₂ và u₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Nếu \({u_1} = 0 \Rightarrow {u_2} = {u_3} = 0\) \( \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne \frac{{148}}{9}\) (mâu thuẫn)

Do đó \({u_1} \ne 0\).

Theo bài ra ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\\
{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q - {u_1} = 3d\\
{u_2}q - {u_2} = 4d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}\left( {q - 1} \right) = 3d\,\,\,(1)\\
{u_2}\left( {q - 1} \right) = 4d\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Xét hai trường hợp sau :

* Trường hợp 1 : q ≠ 1.

Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u₁≠ 0) và \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)

Từ đó :

\(\eqalign{
& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr 
& = {u_1}.{{1 - {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr 
& \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = {4 \over 9}.\)

* Trường hợp 2 : q = 1.

Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\).

\( \Rightarrow \frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_1}\)

\( \Rightarrow {u_1} = \frac{{148}}{{27}}\)

Ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :

\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\)