Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau :

LG a

\(3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1 : (chia hai vế cho \({\cos ^2}x\)).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0
\end{array}\)

Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào phương trình ra được:

\(3.1 - 2.0 - 0 = 0\) (vô lí)

Do đó \(\cos x\ne 0\), chia cả hai vế cho \(\cos ^2x\ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}
Pt \Leftrightarrow \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2.\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là : \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi\).

Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)

\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} - \sin 2x - {{1 + \cos 2x} \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3 - 3\cos 2x - 2\sin 2x - 1 - \cos 2x = 0\cr& \Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\cos 2x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin 2x + {2 \over {\sqrt 5 }}\cos 2x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \text{Chọn }\,\alpha \,\text{ là số thỏa mãn }\cr&\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}\cr&\text{ Ta có }: \cr & \sin \alpha \sin 2x + \cos \alpha \cos 2x = \sin \alpha  \cr&\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = \pm \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k2\pi \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)

LG b

\(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\cos 2x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}2x = 1\) thay vào pt ta được:

\(3.1 - 0 - 4.0 = 2\) (vô lí)

Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}2x \ne 0\) ta được:

\(3.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - \frac{{\sin 2x\cos 2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - 4.\frac{{{{\cos }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan 2x = - 2} \cr {\tan 2x = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\beta \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.\cr&\text{trong đó }\tan 2\alpha = - 2\,\text{và}\,\tan 2\beta = 3 \cr} \)

LG c

\(2{\sin ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\cos ^2}x = - 1\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào pt ta được:

\(2.1 + \left( {3 + \sqrt 3 } \right).0 + \left( {\sqrt 3  - 1} \right).0 =  - 1\) (vô lí)

Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {\sqrt 3  - 1} \right).\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\eqalign{&\Leftrightarrow  2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 - 1 = - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {{\sqrt 3 } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)