Câu 33 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau :

a.  \(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 4\)

b.  \(3{\sin ^2}x + 4\sin 2x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0\)

c.  \({\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\)

LG a

\(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 4\)

Lời giải chi tiết:

Thay \(\cos x = 0\)\( \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) vào phương trình ta được:

\(2.1 + 2\sqrt 3 .0 - 0 = 4\) (vô lí)

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được :

\(2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3\sqrt 3 .\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1 = \frac{4}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 3\sqrt 3 \tan x - 1 = 4\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 3\sqrt 3 \tan x + 5 = 0 \cr} \)

Phương trình vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

\(3{\sin ^2}x + 4\sin 2x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 4.2\sin x\cos x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 8\sin x\cos x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0
\end{array}\)

Thay \(\cos x = 0\)\( \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) vào phương trình ta được:

\(3.1 + 8.0 + 0 = 0\) (vô lí)

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\(3\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 8\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \left( {8\sqrt 3  - 9} \right) = 0\)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 8\tan x + 8\sqrt 3 - 9 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - \sqrt 3 } \cr 
{\tan x = - {8 \over 3} + \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = -{\pi \over 3} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\,k \in\mathbb Z \cr & \text{ trong đó}\,\tan \alpha = - {8 \over 3} + \sqrt 3 \cr} \) 

LG c

\({\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

\(PT \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x =  {1 \over 2} \)

Thay \(\cos x = 0\)\( \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) vào phương trình ta được:

\(1 + 2.0 - 0 = \frac{1}{2}\) (vô lí)

Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được :

\(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 2 = \frac{1}{{2{{\cos }^2}x}}\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow  {\tan ^2}x + 2\tan x - 2 = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 1} \cr {\tan x = - 5} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\,\,k \in \mathbb Z \cr & \text{ trong đó}\,\tan \alpha = - 5 \cr} \)