Câu 29 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm):

LG a

\(3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0\) trên \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& 3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 10\sin x + 1 = 0\cr& \Leftrightarrow - 6{\sin ^2}x + 10\sin x + 4 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\sin x = - {1 \over 3}} \cr {\sin x = 2\,\left( {\text{ loại }} \right)} \cr} } \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.\)

Với \(x = \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi \) thì do \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên:

\(\begin{array}{l}
- \frac{\pi }{2} < \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi < \frac{\pi }{2}\\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) < k2\pi < \frac{\pi }{2} - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right)\\
\Rightarrow - 1,23 < k2\pi < 1,91\\
\Rightarrow - 0,196 < k < 0,3\\
\Rightarrow k = 0\\
\Rightarrow x = \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 0,34
\end{array}\)

Với \(x =\pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi \) thì do \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên:

\(\begin{array}{l}
- \frac{\pi }{2} < \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k2\pi < \frac{\pi }{2}\\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \pi + \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) < k2\pi < \frac{\pi }{2} - \pi + \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right)\\
\Rightarrow - 5,05 < k2\pi < - 1,91\\
\Rightarrow - 0,8 < k < - 0,3
\end{array}\)

Vì k nguyên nên không có k thỏa mãn TH này.

Vậy phương trình có nghiệm gần đúng thỏa mãn là \(x ≈ -0,34\)

LG b

\(4\cos 2x + 3 = 0\) trên \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
4\cos 2x + 3 = 0\\
\Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{3}{4}\\
\Leftrightarrow 2x = \pm \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi
\end{array}\)

Với \(x = \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi \) ta có:

\(0 < x < \frac{\pi }{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi  < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow  - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) < k\pi  < \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right)\\ \Rightarrow  - 1,21 < k\pi  < 0,36\\ \Rightarrow  - 0,39 < k < 0,115\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow x = \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) \approx 1,21\end{array}\)

Với \(x =  - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi \) ta có:

\(0 < x < \frac{\pi }{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 <  - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + k\pi  < \frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) < k\pi  < \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right)\\ \Rightarrow 1,21 < k\pi  < 2,78\\ \Rightarrow 0,38 < k < 0,88\end{array}\)

Do dó không có k trong TH này.

Vậy \(x  \approx 1,21\).

LG c

\({\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\({\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cot x = 5} \cr {\cot x = - 2} \cr} } \right.\)

Nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng \((0; π)\) là \(x ≈ 0,2; x ≈ 2,68\)

LG d

\(5 - 3\tan 3x = 0\) trên \(\left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 6}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(x \in \left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 6}} \right) \Leftrightarrow 3x \in \left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right).\) Với điều kiện đó, ta có :

\(5 - 3\tan 3x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x = {5 \over 3} \)

\(\Leftrightarrow 3x = \beta \Leftrightarrow x = {\beta \over 3},\) 

Trong đó \(β\) là số thực thuộc khoảng \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \beta = {5 \over 3};\) bảng số hoặc máy tính cho ta \(β ≈ 1,03\). Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là \(x ≈ 0,34\).