Câu 4 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow c .\)

Vì G’ là trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên \(\overrightarrow {AG'}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {AD'} } \right)\)

Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AG}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD'}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AG'}  - \overrightarrow {AG} \cr& = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {D'C}  + \overrightarrow {MC'}  + \overrightarrow {ND'} } \right)  \cr  &  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow c  + \overrightarrow a  - \overrightarrow c  + {1 \over 2}\overrightarrow a  + \overrightarrow c  + {1 \over 2}\overrightarrow c } \right)  \cr  &  = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow a  - \overrightarrow c } \right) = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AA'} } \right) \cr} \)

Do đó \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {GG'} \) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.