Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha  = {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma \)

Lời giải chi tiết

Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC.

Khi đó HB là hình chiếu của AB trên (P) nên góc giữa AB và (P) bằng góc giữa AB và HB hay \(\beta  = \widehat {ABH}\)

HC là hình chiếu của AC trên (P) nên góc giữa AC và (P) bằng góc giữa AC và HC hay \(\gamma  = \widehat {ACH}\)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
AI \bot BC\\
AH \bot BC\left( {AH \bot \left( P \right)} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BC \bot \left( {AIH} \right) \Rightarrow BC \bot HI\)

Mà \(BC \bot AI\) và \(\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = BC\) nên góc giữa (ABC) và (P) bằng góc giữa AI và HI hay \(\alpha  = \widehat {AIH}.\) (do \(\widehat {AIH}<90^0\)).

Vì ΔABC vuông ở A nên :

\(\eqalign{  & {1 \over {A{I^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {{A{H^2}} \over {A{I^2}}} = {{A{H^2}} \over {A{B^2}}} + {{A{H^2}} \over {A{C^2}}}  \cr  & hay\,\,{\sin ^2}\alpha  = {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  \cr} \)