Câu 35 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho \({{IM} \over {IN}} = k,k \ne 0\)cho trước

Lời giải chi tiết

Thuận. Giả sử M \(\in\) (P), N \(\in\) (Q) và điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho \({{IM} \over {IN}} = k.\)

Trên hai mặt phẳng (P) và (Q), ta lần lượt lấy hai điểm cố định M₀ và N₀ rồi lấy một điểm I₀ thuộc đoạn thẳng M₀N₀ sao cho \({{{M_0}{I_0}} \over {{N_0}{I_0}}} = k.\) Khi ấy điểm I₀ cố định.

Ta có: \({{IM} \over {IN}} = {{{I_0}{M_0}} \over {{I_0}{N_0}}}\left( { = k} \right)\)

\(\Rightarrow {{IM} \over {{I_0}{M_0}}} = {{IN} \over {{I_0}{N_0}}} = {{IM + IN} \over {{I_0}{M_0} + {I_0}{N_0}}} = {{MN} \over {{M_0}{N_0}}}\)

Áp dụng định lí Ta-lét đảo, ta suy ra đường thẳng I₀I thuộc một mặt phẳng (R) song song với (P) và (Q). Mặt phẳng (R) cố định vì nó qua điểm cố định I­₀ và song song với mặt phẳng cố định (P). Vậy điểm I thuộc mặt phẳng (R) cố định.

Đảo. Ngược lại, lấy một điểm I’ bất kì trên mặt phẳng (R). Qua I’ ta kẻ một đường thẳng cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại M’ và N’. Xét hai cát tuyến M₀N₀ , M’N’ và ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R).

Theo định lí Ta-lét ta có: \({{I'M'} \over {{I_0}{M_0}}} = {{I'N'} \over {{I_0}{N_0}}} = {{M'N'} \over {{M_0}{N_0}}}\)

Từ đó, ta suy ra I thuộc đoạn thẳng M’N’ và \({{I'M'} \over {I'N'}} = {{{I_0}{M_0}} \over {{I_0}{N_0}}} = k\)

Kết luận: Tập hợp điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho \({{IM} \over {IN}} = k\)  là mặt phẳng (R) nói trên.