Câu 32 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \({1 \over {16}}\) . Hãy tìm cấp số nhân đó. 

Lời giải chi tiết

Với mỗi \(n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\), kí hiệu u_n là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho.

Vì \({u_1} > 0,{u_2} > 0\) nên cấp số nhân (u_n) có công bội \(q > 0\), và do đó \({u_n} > 0{\rm{ }}\;\forall {\rm{ }}n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\). Từ đó :

\(\eqalign{
& 1 = {u_1}.{u_3} = u_2^2 \Rightarrow {u_2} = 1, \cr 
& {1 \over {16}} = {u_3}.{u_5} = u_4^2 \Rightarrow {u_4} = {1 \over 4} \cr 
& u_3^2 = {u_2}.{u_4} = {1 \over 4} \Rightarrow {u_3} = {1 \over 2} \cr} \)

Do đó  \({u_1} = {1 \over {{u_3}}} = 2\,\text{ và }\,{u_5} = {1 \over {16}}:{u_3} = {1 \over 8}\)

Vậy cấp số nhân cần tìm là :  \(2,1,{1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8}\)