Câu 26 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Tứ giác MNEF là hình thoi.

c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD).

Lời giải chi tiết

Gọi M’, N’, E’, F’ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SM và AB, SN và BC, SE và CD, SF và DA. Khi đó M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA.

Vì M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC nên:

\({{SM} \over {SM'}} = {{SN} \over {SN'}} = {2 \over 3} \)

\(\Rightarrow MN// M'N'\)  và \(MN = {2 \over 3}M'N'\)  (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(EF//E'F'\,\,\text{và}\,\,EF = {2 \over 3}\)E'F'       (2)

NE // N’E’ và \(NE = {2 \over 3}N'F'\,\,(3)\)

MF // M’F’ và \(MF = {2 \over 3}M'F'\,\,\,(4)\)

a) M’N’ là đường trung bình của tam giác BAC suy ra:

 M’N’//AC và \(M'N' = {1 \over 2}AC\,\,\,(5)\)

Tương tự: E’F’ // AC và \(E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(6)\)

Từ (5) và (6) suy ra M’N’ //E’F’ và \(M'N' = E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(7)\)

Từ (1), (2), (7) suy ra MN // EF. Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Lí luận tương tự như câu a), ta suy ra:

N’E’ // M’F’ và \(N'E' = M'F' = {1 \over 2}BD.\)

Từ (1), (2), (3), (4), (7), (8) và AC = BD suy ra:

\(MN = NE = EF = FM = {1 \over 3}AC.\)

Vậy tứ giác MNEF là một hình thoi.

c) Dễ thấy O cũng là giao điểm của M’E’ và N’F’. Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’) và (MNEF). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {N'SF'} \right) = SO \cr 
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = ME \cr 
& \left( {N'SF'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = NF \cr 
& ME \cap NF = I \cr} \)

Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SO, ME và NF đồng quy.