Bài 25 trang 9 SBT Hình Học 11 nâng cao

Đề bài

Cho elip (E) với hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng \({F_1}{F_2}\) và m là phân giác  ngoài tại đỉnh M của tam giác \(M{F_1}{F_2}\). 

Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M).

Lời giải chi tiết

Giả sử elip (E) có trục lớn là 2a, tức là điểm M nằm trên (E) khi và chỉ khi:

\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)

Theo chứng minh bài tập 24, nếu M’ nằm trên phân giác m thì:

\(M'{F_1} + M'{F_2} \ge M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (E).

Từ đó, suy ra m cắt (E) tại điểm duy nhất M.