Bài tập trắc nghiệm khách quan trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Câu 24

Hàm số \(f(x) = {e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}}\)

(A) Đồng biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\)

(B) Nghịch biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\)

(C) Đồng biến trên khoảng \((-∞, 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((3, + ∞)\)

(D) Nghịch biến trên khoảng \((-∞, 1)\)  và đồng biến trên khoảng \((3, + ∞)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& f'(x) = ({x^2} - 4x + 3){e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}} \cr 
& f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Ta có bảng biến thiên:

Chọn (A)

Câu 25

Hàm số f(x) = sin²x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:

(A) \( - {1 \over 2}\)

(B) 0

(C) -1

(D) \( - {1 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt  t = sin x; t ∈ [-1, 1]

f(x) = g(t) = t² – 2t

g’ = 2t – 2 = 0 ⇔ t = 1

g( - 1) = 3

g(1) = -1

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in R} f(x) =  - 1\)

Chọn (C)

Câu 26

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + x} \) . Khi đó

(A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \) )

(B) Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \)  )

(C) Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \)  )

(D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \)  )

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{f(x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x}} = 1 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[f(x)}}\, - {\rm{ax]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + x} - x) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {\sqrt {{x^2} + x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \) 

Vậy \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) khi \(x\to +∞\)

Chọn B

Câu 27

Đồ thị của hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với

(A) Parabol y = 2x² -1

(B) Parabol y = x²

(C) Parabol y = -x² + 2x

(D) Đường thẳng y = 2x + 1

Lời giải chi tiết:

Xét f(x) = x³ – x + 1 ; g(x) = x²

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
f(1) = g(1) = 1 \hfill \cr 
f'(1) = g'(1) = 2 \hfill \cr} \right.\) 

Nên đồ thị hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với (P)

y = x² tại (1, 1)

Chọn (B)

Câu 28

Cho hai số dương a và b. Đặt 

\(\left\{ \matrix{
X = \ln {{a + b} \over 2} \hfill \cr 
Y = {{\ln a + \ln b} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}\cr& \Rightarrow \ln {{a + b} \over 2} \ge \ln \sqrt {ab} = {1 \over 2}(lna\, + \ln b) \cr 
& \Rightarrow X \ge Y \cr} \)

Chọn (C)

Câu 29

Cho hai số không âm a và b.

Đặt

\(\left\{ \matrix{
X = {e^{{{a + b} \over 2}}} \hfill \cr 
Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \ge \sqrt {{e^a}.{e^b}}  = {e^{{{a + b} \over 2}}} = X\)

Vậy chọn (D)

Câu 30

Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log₂x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log₂2(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ:

\(\eqalign{
& (A)\,\overrightarrow v = (3,1) \cr 
& (B)\,\overrightarrow v = (3, - 1) \cr 
& (C)\,\overrightarrow v = ( - 3,1) \cr 
& (D)\,\overrightarrow v = ( - 3, - 1) \cr} \) 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

log₂2(x + 3) = 1 + log₂ (x + 3)

y = log₂x  \(\to\) Tịnh tiến trái 3 đơn vị

y = log₂ (x + 3) \(\to\) Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị \(\to\) y = 1 + log₂ (x + 3)

Chọn (C)

Câu 31

Cho hàm số f(x) = log₅(x² + 1). Khi đó:

(A) \(f'(1) = {1 \over {2\ln 5}}\)

(B) \(f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\)

(C) \(f'(1) = {3 \over {2\ln 5}}\)

(D) \(f'(1) = {2 \over {\ln 5}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f'(x) = {{2x} \over {{x^2} + 1}}.{1 \over {\ln 5}} \Rightarrow f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\)

Chọn (B)

Câu 32

Biết rằng đồ thị của hàm số y = a^x và đồ thị của hàm số y = log_bx cắt nhau tại điểm \(\left( {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right)\). Khi đó 

(A) a > 1 và b > 1

(B) a > 1 và 0 < b < 1

(C) 0 < a < 1 và b > 1

(D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{a^{\sqrt {{1 \over 2}} }} = \sqrt 2 \hfill \cr 
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _a}\sqrt 2 = \sqrt {{1 \over 2}} > 0 \hfill \cr 
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 > 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a > 1 \hfill \cr 
0 < b < 1 \hfill \cr} \right.\) 

Chọn (B)

Câu 33

Cho hàm số \(f(x) = {{2{x^4} + 3} \over {{x^2}}}\) . Khi đó

(A) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}}  - {3 \over x} + C\)

(B) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}}  + {3 \over x} + C\)

(C) \(\int {f(x)dx = 2{x^3}}  - {3 \over x} + C\)

(D)\(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}}  + {3 \over {2x}} + C\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\int {f(x)dx = \int {(2{x^2} + {3 \over {{x^2}}})dx = {{2{x^3}} \over 3} - {3 \over x} + C} } \)

Chọn (A)

Câu 34

Đẳng thức \(\int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = sina} \) xảy ra nếu:

\((A) \;a – π\) 

\(\eqalign{
& (B)\,\,a = \sqrt \pi \cr 
& (C)\,\,a = \sqrt {3\pi } \cr 
& (D)\,a = \sqrt {2\pi } \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = \sin (x + {a^2})|_0^a} \cr&= \sin (a + {a^2}) - \sin {a^2} = \sin a \cr 
& \Leftrightarrow \sin (a + {a^2}) = \sin {a^2} + \sin a \cr} \) 

Với \(a = \sqrt {2\pi }  \Rightarrow \sin (\sqrt {2\pi }  + 2\pi ) = \sin 2\pi  + \sin \sqrt {2\pi } \)

\( \Leftrightarrow \sin \sqrt {2\pi }  = \sin \sqrt {2\pi } \)

Chọn (D)

Câu 35

Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:

\(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx\,\, < e - 2\) 

Khi đó:

(A) S = {1}

(B) S = {2}

(C) S = {1, 2}

(D) S = Ø

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx = \int\limits_1^e {(\ln k - \ln x)dx = (e - 1)\ln k - \int\limits_1^e {\ln xdx} }\)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr 
v = x \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\int\limits_1^e {\ln xdx = x\ln x|_1^e}  - \int\limits_1^e {dx}  = e - (e - 1) = 1\)

Vậy:

\(\eqalign{
& \int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx < e - 2 \Leftrightarrow (e - 1)\ln k - 1 < e - 2 \cr 
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnk}\nolimits} < 1 \Leftrightarrow 0 < k < e \Leftrightarrow k \in {\rm{\{ }}1,\,2\} \cr} \)

Chọn (C)

Câu 36

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

\(\alpha  = {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2};\,\beta  = z.\overline z  + i\left( {z - \overline z } \right).\)

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Lời giải chi tiết:

Giả sử z = a+bi, ta có:

\(\alpha  = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2{a^2}-2b^2\)

Vậy α ∈ R

\(\beta  = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) + i\left( {a + bi - a + bi} \right)\)

\(= {a^2} + {b^2} - 2b \in\mathbb R\)

Vậy chọn A.

Câu 37

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức 

\(\left\{ \matrix{
\alpha = {{{i^{2005}} - i} \over {\overline z - 1}} - {z^2} + {(\overline z )^2} \hfill \cr 
\beta = {{{z^3} - z} \over {z - 1}} + {(\overline z )^2} + \overline z \hfill \cr} \right.\)

Khi đó:

(A) α là số thực, β là số thực

(B) α là số thực, β là số ảo

(C) α là số ảo, β là số thực

(D) α là số ảo, β là số ảo

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({i^{2005}} = i \)

\(\Rightarrow \alpha  = \frac{{{i^{2005}} - i}}{{\overline z  - 1}} - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} \)

\(= \frac{{i - i}}{{z - 1}} - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} \)

\(= 0 - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\)

\(  = {(\overline z )^2} - {z^2} \) \(= (\overline z  - z)(\overline z  + z)\)

\( = \left( {a - bi - a - bi} \right)\left( {a - bi + a + bi} \right) \) \(=  - 2bi.2a =  - 4abi\)

là số ảo.

\(\begin{array}{l}
\beta = \frac{{{z^3} - z}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\
= \frac{{z\left( {{z^2} - 1} \right)}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\
= \frac{{z\left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\
= z\left( {z + 1} \right) + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z
\end{array}\)

\( = {z^2} + z + {\overline z ^2} + \overline z  \) \(= {(z + \overline z )^2} - 2z.\overline z  + (z + \overline z )\)

\( = {\left( {a + bi + a - bi} \right)^2} \) \(- 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \) \(+ \left( {a + bi + a - bi} \right) \) \(= 4{a^2} - 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 2a\) \( = 2{a^2} - 2{b^2} + 2a\)

là số thực

Chọn (C)

Câu 38

Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdun của số phức (1 – i)²z bằng:

(A) 4r

(B) 2r

(C) \(r\sqrt 2 \)

(D) r

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i + {i^2} = - 2i\\
\Rightarrow \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right| = \left| { - 2i} \right| = 2\\
\Rightarrow \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}z} \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right|\\
= 2r
\end{array}\)

Chọn (B)