Bài tập 6 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Tính AI.

b) Gọi M là điểm đối xứng của A qua I. Chứng minh rằng tứ giác ABMC là hình chữ nhật.

c) Gọi E là trung điểm của AI, P là trung điểm của IC, Q là trung điểm của MB. Chứng minh rằng tứ giác BQPE là hình bình hành.

d) Chứng minh rằng \(BE \bot AP\).

Lời giải chi tiết

a) \(\Delta ABC\) vuông tại A có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)  (định lí Pytago)

\( \Rightarrow B{C^2} = 36 + 64 \Rightarrow B{C^2} = 100 = {10^2} \Rightarrow BC = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có AI là đường trung tuyến) (I là trung điểm của BC)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow AI = BI = IC = {{BC} \over 2}  \cr  &  \Rightarrow AI = BI = IC = {{10} \over 2} = 5\,\,\left( {cm} \right) \cr} \)

b) Tứ giác ABMC có BC cắt AM tại I (gt)

I là trung điểm của BC (gt);

I là trung điểm của AM (M đối xứng với A qua I)

Do đó tứ giác ABMC là hình bình hành.

Mà \(\widehat {BAC} = {90^0}\,\,(\Delta ABC\) vuông tại A) nên tứ giác ABMC là hình chữ nhật.

c) E, P lần lượt là trung điểm của AI và IC (gt)

\( \Rightarrow EP\) là đường trung bình của tam giác AIC \( \Rightarrow EP//AC\) và \(EP = {1 \over 2}AC\).

Ta có \(BQ = {1 \over 2}BM\) (Q là trung điểm của BM),

\(EP = {1 \over 2}AC\) (cmt) và \(BM = AC\) (ABMC là hình chữ nhật) \( \Rightarrow BQ = EP\).

Tứ giác BQPE có \(BQ = EP\) và \(BQ//EP\) (cùng song song với AC)

Do đó tứ giác BQPE là hình bình hành.

d) Ta có \(EP//AC\)  (câu c) và \(AC \bot AB\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A) \( \Rightarrow EP \bot AC\).