Bài tập 26 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc B cắt AC ở E, cắt AH ở F.

a) Chứng minh rằng AB.HF = AE.HB.

b) Chứng minh rằng AE = AF.

c) Chứng minh rằng AE² = EC.FH.

d) Cho biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác BHF.

Lời giải chi tiết

a) Xết ∆ABE và ∆BHF có:

\(\widehat {BAE} = \widehat {BHF}( = 90^\circ )\)

Và \(\widehat {ABE} = \widehat {FBH}\) (BE là tia phân giác của góc B)

Do đó \(\Delta ABE \sim \Delta HBF(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AB} \over {HB}} = {{AE} \over {HF}} \Rightarrow AB.HF = AE.HB\)

b) Ta có \(\widehat {AEF} = \widehat {HFB}\) (vì \(\Delta ABE \sim \Delta HBF)\)

Và \(\widehat {HFB} = \widehat {AFE}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {AFE} \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại A \( \Rightarrow AE = AF\)

c) Xét ∆ABH và ∆ABC có: góc B (chung) và \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta ABH \sim \Delta CBA(g.g) \)

\(\Rightarrow {{AB} \over {BC}} = {{BH} \over {AB}} \)

\(\Rightarrow {{BC} \over {AB}} = {{AB} \over {BH}}(1)\)

∆ABC có BE là đường phân giác (gt) nên \({{EC} \over {AE}} = {{BC} \over {AB}}(2)\)

∆ABH có BF là đường phân giác (gt) nên \({{AF} \over {FH}} = {{AB} \over {BH}}(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{EC} \over {AE}} = {{AF} \over {FH}} \Rightarrow AE.AF = EC.FH\)

Mà AF = AE (câu b) \( \Rightarrow AE.AE = EC.FH \Rightarrow A{E^2} = EC.FH\)
d) ∆ABC vuông tại A có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Py-ta-go)

\( \Rightarrow B{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 \Rightarrow BC = 15(cm)\)

Ta có \(AH.BC = AB.AC( = 2{S_{ABC}}) \)

\(\Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{9.12} \over {15}} = 7,2(cm)\)

∆HAB vuông tại H \( \Rightarrow A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\) (định lý Py-ta-go)

Do đó \(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {9^2} - 7,{2^2} = 5,{4^2} \)

\(\Rightarrow BH = 5,4(cm)\)

∆ABH có BF là đường phân giác

\( \Rightarrow {{FH} \over {AF}} = {{BH} \over {AB}}\)

\(\Rightarrow {{FH} \over {BH}} = {{AF} \over {AB}} = {{FH + AF} \over {BH + AB}} = {{AH} \over {BH + AB}}\)

Nên \({{FH} \over {5,4}} = {{7,2} \over {5,4 + 9}} \)

\(\Rightarrow FH = 2,7(cm)\)

Do vậy \({S_{BHF}} = {1 \over 2}FH.BH = {1 \over 2}.2,7.5,4 = 7,29(c{m^2})\)