Bài tập 23 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\). Vẽ \(HM \bot AB,\,\,HN \bot AC\,\,\)\(\left( {M \in AB,\,\,N \in AC} \right)\)

a) Chứng minh rằng \(\Delta AMH \sim \Delta AHB.\) Suy ra AH² = AM.AB.

b) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

c) Chứng minh \(\Delta ANM \sim \Delta ABC.\)

d) Gọi O là giao điểm của AH với MN. Chứng minh OA.OH = OM.ON.

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆AMH và ∆AHB có: \(\widehat {MAH}\) chung và \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AMH \sim \Delta AHB(g.g) \Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AM} \over {AH}}\)

\( \Rightarrow A{H^2} = AM.AB(1)\)

b) Xét ∆AHN và ∆AHC có:

\(\widehat {HAN}\) chung và \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

\(\Rightarrow \Delta AHN \sim \Delta ACH(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AN} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AN.AC(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC

c) Xét ∆ANM và ∆ABC có: \({{AM} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\) (vì AM.AB = AN.AC) và góc MAN (chung)

Do đó \(\Delta ANM \sim ABC(c.g.c)\)

d) Ta có \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}(\Delta ANM \sim \Delta ABC)\) và \(\widehat {AHN} = \widehat {ACB}(\Delta AHN \sim \Delta ACH)\)

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AHN}\,hay\,\widehat {AMO} = \widehat {OHN}\)

Xét ∆AMO và ∆OHN có \(\widehat {AOM} = \widehat {NOH}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {AMO} = \widehat {OHN}\)

Do đó \(\Delta AMO \sim \Delta NHO(g.g) \)

\(\Rightarrow {{OA} \over {ON}} = {{OM} \over {OH}}\)

\(\Rightarrow OA.OH = OM.ON\)