Bài tập 12* trang 29 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Tìm số nguyên x để phân số sau có giá trị là số nguyên:

\(\eqalign{  & a)\,\,A = {{x + 1} \over {x - 2}}  \cr  & b)\,\,B = {{10x - 9} \over {2x - 3}} \cr} \)

Lời giải:

\(a)A = {{x + 1} \over {x - 2}}\) . Điều kiện: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2,x \in Z\)

\(A = {{x + 1} \over {x - 2}} = {{x - 2 + 3} \over {x - 2}} = {{x - 2} \over {x - 2}} + {3 \over {x - 2}} = 1 + {3 \over {x - 2}}\)

Để \({{x + 1} \over {x - 2}}\)  là số nguyên thì \({3 \over {x - 2}}\)  là số nguyên. Do đó: \(x - 2 \in UCLN(3) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\)

\(x \in \left\{ {1;3; - 1;5} \right\}.\)  Vậy \(x \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}\)

\(b)B = {{10x - 9} \over {2x - 3}}.\)  Điều kiện: \(2x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {3 \over 2},x \in Z\)

\(B = {{10x - 9} \over {2x - 3}} = {{5(2x - 3) + 15 - 9} \over {2x - 3}} = {{5(2x - 3)} \over {2x - 3}} + {6 \over {2x - 3}} = 5 + {6 \over {2x - 3}}\)

Để \({{10x - 9} \over {2x - 3}}\)  là số nguyên thì \({6 \over {2x - 3}}\)  là số nguyên

Do đó: \(\eqalign{  & 2x - 3 \in UCLN(6) = \left\{ { - 1; - 2; - 3; - 6;1;2;3;6} \right\}  \cr  & 2x \in \left\{ {2;1;0; - 3;4;5;6;9} \right\}  \cr  & x \in \left\{ {1;{1 \over 2};0; - {3 \over 2};2;{5 \over 2};3;{9 \over 2}} \right\} \cr} \)

Vì \(x \in Z\)  nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}.\)  Vậy \(x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)