Bài 7 trang 171 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E vuông góc BE = BA. Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt AC ở F và cắt AB ở G.

a) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

b) Chứng minh rằng AC = GE.

c) Kẻ \(AH \bot BC(H \in BC).\)  Gọi I là giao điểm của AH và BF. Chứng minh rằng tam giác AIF cân.

Lời giải chi tiết

a)Xét tam giác ABF vuông tại A và tam giác EBF vuông tại E có:

BF là cạnh chung.

BA = BE (gt)

Do đó \(\Delta ABF = \Delta EBF\)  (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=>AF = EF => tam giác AEF cân tại F.

b) Xét tam giác ABC và EBG có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BEG}( = {90^0})\)

BA = BE (gt)

\(\widehat {ABC}\)   là góc chung.

Do đó: \(\Delta ABC = \Delta EBG(g.c.g) \Rightarrow AC = GE.\)

c) Ta có: \(\eqalign{  & AH \bot BC(gt)  \cr  & EF \bot BC(gt) \cr} \)

\(\Rightarrow AH = EF \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {BFE}\)   (so le trong)

Mà \(\widehat {AFI} = \widehat {BFE}(\Delta ABF = \Delta EBF) \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {AFI}.\)

Do đó: tam giác AIF cân tại A.