Bài 7 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 - 3{x^2}} ;\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle u = \sqrt {7 - 3{x^2}}  \Rightarrow {u^2} = 7 - 3{x^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow 2udu =  - 6xdx \Rightarrow 3xdx =  - udu\)

Do đó \(\displaystyle \int {3x\sqrt {7 - 3{x^2}} dx }\) \(\displaystyle =  - \int {{u^2}du }\) \(\displaystyle =  - {{u^3} \over 3} + C \) \(\displaystyle  =  - \frac{{{{\left( {\sqrt {7 - 3{x^2}} } \right)}^3}}}{3} + C \) \(\displaystyle =  - \frac{{\left( {7 - 3{x^2}} \right)\sqrt {7 - 3{x^2}} }}{3} + C\)

LG b

\(f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(3x + 4 = u\) \( \Rightarrow du = 3dx \Rightarrow dx = \dfrac{{du}}{3}\)

\( \Rightarrow \int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx}  = \int {\cos u.\dfrac{{du}}{3}} \) \( = \dfrac{1}{3}\sin u + C\) \( = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C\)

LG c

\(f\left( x \right) =  {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(3x + 2 = u\) \( \Rightarrow 3dx = du \Rightarrow dx = \dfrac{{du}}{3}\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}}dx} \) \( = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}.\dfrac{{du}}{3}}  = \dfrac{1}{3}\int {\dfrac{{du}}{{{{\cos }^2}u}}} \) \( = \dfrac{1}{3}\tan u + C\) \( = \dfrac{1}{3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C\)

LG d

 \(f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \) \(\displaystyle \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du\) 

Do đó \(\displaystyle \int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du } } \)\(\displaystyle  = 3.\frac{{{u^6}}}{6} + C = \frac{1}{2}{\sin ^6}\frac{x}{3} + C\)