Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)

LG a

Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta ' \ge 0)\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0\) (1) có \(a=7\ne 0\)

Phương trình (1) có nghiệm khi \(\Delta’ ≥ 0\)

Ta có: \(\Delta’ = (m – 1)^2 – 7(-m^2) = (m – 1)^2 + 7m^2 ≥ 0\) với mọi \(m\)

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\)

LG b

Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).

Phương pháp giải:

Hệ thức Vi-et: Với \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\) thì 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Biến đổi \(x_1^2+x_2^2\) để sử dụng được hệ thức Vi-ét.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0\) (1) có \(a=7\ne 0\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo hệ thức Viet ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{2(m-1)}{7}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{- m^2}{7}
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} 
x_1^2 + x_2^2=x_1^2 + x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2 \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\
 = {\left[ {\dfrac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{7}} \right]^2} - 2.\dfrac{{ - {m^2}}}{7}\\
 = \dfrac{{4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)}}{{49}} + \dfrac{{2{m^2}}}{7}\\
 = \dfrac{{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}}}{{49}}\\
 = \dfrac{{18{m^2} - 8m + 4}}{{49}}
\end{array}\)

Vậy \(\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\) .