Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

LG a

\(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Đặt \({x^2} - 2x = t\) để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \({x^2} - 2x = t\), ta thu được phương trình \(2{t^2} + 3t + 1 = 0\)

Phương trình trên có \(a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0\) nên có hai nghiệm \(t =  - 1;t =  - \dfrac{1}{2}.\)

+ Với \(t =  - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x =  - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

+ Với \(t =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2x =  - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x - 1 =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\)

LG b

\({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)

Phương pháp giải:

Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = t\) để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x \ne 0.\)

Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = t\), ta thu được phương trình \({t^2} - 4t + 3 = 0\)

Phương trình trên có \(a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên có hai nghiệm \(t = 1;t = 3.\)

+ Với \(t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 = 0\) .

Xét \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 =  - 3 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

+ Với \(t = 3 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\, (*)\) 

Phương trình (*) có \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\) .