Bài 6 trang 130 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(M\) có giá trị là một số nguyên:

\(M = \dfrac{{10{x^2} - 7x - 5}}{{2x - 3}}\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(x\ne \dfrac{3}{2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
M = \dfrac{{10{x^2} - 7x - 5}}{{2x - 3}}\\
= \dfrac{{10{x^2} - 15x + 8x - 12 + 7}}{{2x - 3}}\\
= \dfrac{{5x\left( {2x - 3} \right) + 4\left( {2x - 3} \right) + 7}}{{2x - 3}}\\
= \dfrac{{\left( {5x + 4} \right)\left( {2x - 3} \right) + 7}}{{2x - 3}}\\
= \dfrac{{\left( {5x + 4} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{2x - 3}} + \dfrac{7}{{2x - 3}}\\
= 5x + 4 + \dfrac{7}{{2x - 3}}
\end{array}\)

Như vậy, \(M = 5{\rm{x}} + 4 \)\(\,+ \dfrac{7}{{2{\rm{x}} - 3}}\)

Do \(x\) nguyên nên \(M\) có giá trị nguyên khi \(\dfrac{7}{{2x - 3}}\) có giá trị nguyên.

Tức \(2x - 3\) là ước của \(7\) \( \Rightarrow 2{\rm{x}} - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 7} \right\}\)

+) \(2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4  \Rightarrow x = 2\) (thỏa mãn đk)

+) \(2x - 3 = -1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x =1\) (thỏa mãn đk)

+) \(2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10  \Rightarrow x = 5\) (thỏa mãn đk)

+) \(2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow  x = -2\) (thỏa mãn đk)

Vậy \(x \in \left\{ { - 2;1;2;5} \right\}\)