Bài 3 trang 130 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho \(8\).

Lời giải chi tiết

Gọi hai số lẻ bất kì là \(2a + 1\) và \(2b + 1\) (\(a, b ∈\mathbb Z\))

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :

\({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} \)

\(= \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b{\rm{ }} + 1} \right)\)

\( = \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b} \right){\rm{ }} \)

\(= {\rm{ }}4a\left( {a{\rm{ }} + 1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}4b\left( {b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\)    

Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho \(2\) nên \(a(a+1)\) và \(b(b+1)\) đều chia hết cho \(2\).

Do đó \(4a(a + 1)\) và \(4b(b + 1)\) chia hết cho \(8\).

Suy ra \(4a(a + 1) – 4b(b + 1)\) chia hết cho \(8\).

Vậy \({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\) chia hết cho \(8\).