Bài 57 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

\(2\sin ({\pi  \over 4} + \alpha )\sin ({\pi  \over 4} - \alpha ) = \cos 2\alpha \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\sin a\sin b \)\(=  - \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(2\sin ({\pi  \over 4} + \alpha ).sin({\pi  \over 4} - \alpha ) \)

\( = 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right).[\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha  + \frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\)\( - \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha  - \frac{\pi }{4} + \alpha } \right)]\)

\(=  - \left( {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 2\alpha } \right)\)

\(= \cos 2\alpha  - \cos {\pi  \over 2} = \cos 2\alpha \)

LG b

\(sinα (1 + cos2α) = sin2α cosα\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& sin\alpha \left( {1 + cos2\alpha } \right) \cr&= \sin \alpha (1 + 2{\cos ^2}\alpha - 1) \cr 
& = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha \cr& = 2\sin \alpha \cos \alpha .\cos \alpha \cr&= \sin 2\alpha \cos \alpha \cr} \)

LG c

 \({{1 + \sin 2\alpha  - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} \cr & = \frac{{1 + \sin 2\alpha  - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)}}{{1 + \sin 2\alpha  + \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right)}} \cr&= \frac{{1 + \sin 2\alpha  - 1 + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 + \sin 2\alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha  - 1}} \cr&= \frac{{\sin 2\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin 2\alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha }} \cr 
& = {{{2\sin \alpha \cos \alpha } + 2{{\sin }^2}\alpha } \over {{2\sin \alpha \cos \alpha }   + 2{{\cos }^2}\alpha }} \cr &= {{2\sin \alpha (cos\alpha + sin\alpha )} \over {2\cos \alpha (cos\alpha + sin\alpha )}} \cr&= \tan \alpha \cr} \)

LG d

\(\tan \alpha  - {1 \over {\tan \alpha }} =  - {2 \over {\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa)

Phương pháp giải:

Biến đổi VP = VT, sử dụng công thức nhân đôi:

\[\tan 2\alpha  = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
VP = - \frac{2}{{\tan 2\alpha }}\\
= \left( { - 2} \right):\tan 2\alpha \\
= \left( { - 2} \right):\frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\\
= \left( { - 2} \right).\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{2\tan \alpha }}\\
= - \frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{\tan \alpha }}\\
= \frac{{{{\tan }^2}\alpha - 1}}{{\tan \alpha }}
\end{array}\)

\( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{\tan \alpha }} - \frac{1}{{\tan \alpha }} \)

\(= \tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \alpha }} = VT\)

Vậy VT=VP (đpcm)