Bài 55 trang 12 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho phép dời hình f . Biết rằng có một điểm I duy nhất sao cho f biến I thành chính nó, ngoài ra hợp thành của f với chính nó là phép đồng nhất. Chứng minh f là phép đối xứng tâm.

Lời giải chi tiết

Với mỗi điểm M bất kì khác I, ta gọi M’ là ảnh của M qua f, khi đó M và M’ không trùng nhau.

Vì hợp thành của f với chính nó là phép đồng nhất nên f biến M’ thành M, vậy f biến đoạn thẳng MM’ thành đoạn M’M.

Từ đó suy ra f biến trung điểm của đoạn thẳng MM’ thành chính nó.

Vì vậy, theo giả thiết, trung điểm của MM’ phải là điểm I.

Vậy f là phép đối xứng qua tâm I.