Bài 49 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Lời giải chi tiết

Giả sử:

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

f(0) = -4 ⇒ c = -4

f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)

Ta có: (x₁ – x₂ )² = 25 ⇔ S² – 4P = 25

Với

\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ - 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \({{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)

\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ: 

\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr 
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)

Hay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:

\({(5 - 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
a = - {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)

Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)

Nếu \(a =  - {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)

Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y =  - {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.