Bài 47 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm :

\(\left\{ \matrix{
x + y = S \hfill \cr 
xy = P \hfill \cr} \right.\)

 (S và P là hai số cho trước)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = S - x\\
x\left( {S - x} \right) - P = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = S - x\\
- {x^2} + Sx - P = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = S - x\\
{x^2} - Sx + P = 0\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với mỗi giá trị của x, ta được một cặp nghiệm  (x; y)

Vậy hệ có nghiệm \(\Leftrightarrow\) Phương trình (*) có nghiệm

\(⇔ Δ  = S^2– 4P ≥ 0⇔  S^2 ≥ 4P\)

Chú ý:

Trình bày ngắn gọn như sau:

\(x, y\) là nghiệm của phương trình: \(X^2– SX + P = 0 \;\;(1)\)

(1) có nghiệm \(⇔ Δ  = S^2– 4P ≥ 0⇔  S^2 ≥ 4P \)