Bài 46 trang 133 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M, N\) là các trung điểm tương ứng của \(AC, BC.\) Chứng minh rằng diện tích của hình thang \(ABNM\) bằng \(\dfrac{3}{4}\) diện tích của tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

Vẽ hai trung tuyến \(AN, BM\) của \(∆ABC.\) Ta có:

 \({S_{ABN}} =\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)

(có cùng đường cao từ đỉnh \(A\), đáy  \(BN = \dfrac{1}{2}BC)\)

 \({S_{ACN}} =\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)

(có cùng đường cao từ đỉnh \(A\), đáy  \(CN = \dfrac{1}{2}BC)\)

\({S_{AMN}} = {S_{MNC}}\) (có cùng đường cao từ đỉnh \(N\), đáy \(AM = MC\)).

Suy ra  \({S_{AMN}} = {S_{MNC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ACN}} =\dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\)

Vậy  \({S_{ABN}} + {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} +\dfrac{1}{4}{S_{ABC}} \)\(=\dfrac{3}{4}S_{ABC}\)

Tức là  \({S_{ABNM}} = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}\)