Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

LG a

\(3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) 

Phương pháp giải:

Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có phương trình \(3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \(t\). Thay mỗi giá trị của \(t\) vừa tìm được vào đằng thức \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\) , ta được một phương trình của ẩn \(x\). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({x^2} + x = t\) ta được phương trình \(3{t^2} - 2t - 1 = 0\)

Phương trình này có \(a + b + c = 3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \(t = 1;t =  - \dfrac{1}{3}\)

+ Với \({t_1} = 1\) ta có \({x^2} + x = 1\) hay \({x^2} + x - 1 = 0\) có \(\Delta  = {1^2} + 4.1.1 = 5 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\)

+ Với \(t =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow {x^2} + x =  - \dfrac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 1 = 0\) có \(\Delta  = {3^2} - 4.3.1 =  - 3 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\)

LG b

\({({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

Đặt \({x^2} - 4x + 2 = t\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x + 2 - 6 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} - 4x + 2\) ta được phương trình \({t^2} + t - 6 = 0\) có \(\Delta  = {1^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta   = 5\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\\t = \dfrac{{ - 1 - 5}}{2} =  - 3\end{array} \right.\)

+ Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} - 4x + 2 = 2 \)\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \)\(\Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\) 

+ Với \(t =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 =  - 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0\) có \(\Delta  = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.5 =  - 4 < 0\) nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0;x = 4.\)

LG c

\(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\) 

Phương pháp giải:

Đặt \(\sqrt x  = t\left( {t \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(x - \sqrt x  = 5\sqrt x  + 7 \)\(\Leftrightarrow x - 6\sqrt x  - 7 = 0\)

ĐK: \(x \ge 0\) 

Đặt \(\sqrt x  = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình \({t^2} - 6t - 7 = 0\) có \(a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) + \left( { - 7} \right) = 0\)  nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t =  - 1\left( L \right)\\t = 7\left( N \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 7 \Rightarrow \sqrt x  = 7 \Leftrightarrow x = 49\,\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 49.\)

LG d

\(\dfrac{x}{x+ 1} – 10 . \dfrac{x+1}{x}= 3\)

Phương pháp giải:

Đặt \(\dfrac{x+1}{x} = t\) hoặc \(\dfrac{x}{x+ 1} = t\)

Lời giải chi tiết:

ĐK:\(x \ne \left\{ { - 1;0} \right\}\) 

Đặt \(\dfrac{x}{{x + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} = \dfrac{1}{t}\) , ta có phương trình \(t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0\)

Phương trình trên có \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 7\)  nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5\\t = \dfrac{{3 - 7}}{2} =  - 2\end{array} \right.\)

+ Với \(t = 5 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = 5 \\\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x =  - \dfrac{5}{4}\left( {TM} \right)\)

+ Với \(t =  - 2 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} =  - 2\\ \Rightarrow x =  - 2x - 2 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\) 

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x =  - \dfrac{5}{4};x =  - \dfrac{2}{3}.\)