Bài 40 trang 43 Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

Giải chi tiết:

Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\)

Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 6x \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)

- Cực trị:

  Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\;;y_{CĐ}=0\)

  Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\;;y_{CT}=-4\)

- Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = - \infty \cr} \)

\(\eqalign{
& y'' = 6x + 6 \cr 
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \cr} \)

Điểm uốn \(I(-1;-2)\)

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điiểm \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng.

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

Giải chi tiết:

\(y'(-1)=-3\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại \(I(-1;-2)\) là:

\(y=-3(x+1)+(-2) \Leftrightarrow y =  - 3x - 5\)

LG c

Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải chi tiết:

Đồ thị nhận \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& y\left( { - 1 + x} \right) + y\left( { - 1 - x} \right) = 2.\left( { - 2} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {\left( { - 1 + x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 + x} \right)^2} - 4 + {\left( { - 1 - x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 - x} \right)^2} - 4 = - 4 \cr 
& \Leftrightarrow - 1 + 3x - 3{x^2} + {x^3} + 3 - 6x + 3{x^2} - 4 - 1 - 3x - 3{x^2} - {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} - 4 = - 4 \cr 
& \Leftrightarrow - 4 = - 4\,\,\forall x \cr} \)

\(\Leftrightarrow I(-1;-2)\) là tâm đối xứng của đồ thị.