Bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\), \(Ax\) và \(By\)  là hai tiếp tuyến với  nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).

a) Chứng minh rằng \(MON\)  và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\) 

c) Tính tỉ số \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi \(AM\) = \(\dfrac{R}{2}.\)

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.

Lời giải chi tiết

a) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) nên \(OM\) là phân giác \(\widehat {AOP} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\) (1)

Tương tự ta có \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(ON\) là phân giác \(\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2) và

\(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {MON} = 90^\circ \)

+ Lại có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác \(OPNB\) có \(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OPNB\)  là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat {PBO} = \widehat {PNO}\)  (cùng nhìn cạnh \(PO\))

Xét \(\Delta MON\) và \(\Delta APB\) có \(\widehat {MON} = \widehat {APB}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta APB \backsim \Delta MON\left( {g - g} \right)\) (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có  \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) và \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(MA = MP;NP = NB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác \(MON\) vuông tại \(O\) có \(OP \bot MN\)  (do \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(O{P^2} = MP.PN\)

Mà \(MA = MP;NP = NB\) (cmt) và \(OP = R\) nên \(O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN\) (đpcm)

c) Vì \(AM = \dfrac{R}{2}\) mà \(AM.BN = {R^2}\) (câu b) nên \(BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R\)

Suy ra \(MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R \\\Rightarrow MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.\) 

Vì \(\Delta MON \sim \Delta APB\) (câu a) nên tỉ số đồng dạng là \(k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\)

Suy ra tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\)  (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn \(APB\) quay sinh ra hình cầu bán kính \(R\) nên thể tích hình cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)