Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

LG a

\(\,y = \sqrt {{x^2} - 1} \,\,\);

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}}  = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1}  + x}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị khi \(x \to  + \infty \).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\sqrt {{x^2} - 1}  + x}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} \) \( =  - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1}  - x}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = -x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  - \infty \)).

LG b

\(y = 2x + \sqrt {{x^2} - 1} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - 3x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1}  - 3x} \right]\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = 3x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  + \infty \)).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right]\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  - \infty \))

LG c

\(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)

Đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))
* Tiệm cận khi \(x \to  - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {1 \over {x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 0\)

Đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang (khi \(x \to  - \infty \))

LG d

\(y = \sqrt {{x^2} + x + 1} \).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  = 1\)

\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x} \right) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr} \)

Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  =  - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y + x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} =  - {1 \over 2}\)

Đường thẳng \(y =  - x - {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  - \infty \))