Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Cho số phức \({\rm{w}} =  - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\rm{w}  =  - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\)

Suy ra \({\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\)

\({\omega ^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4n = 3k \Leftrightarrow n\) chia hết cho 3 (n nguyên dương)

\({\rm{w} ^m}\) (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

\( \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để  \({\rm{w} ^m}\) là số ảo.