Bài 31 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau

LG a

\({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Xác định a, b, c suy ra các tọa độ đỉnh và tiêu điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(a = 5;b = 2;\)

\({a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} \)

\(\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {21} \)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt {21} ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt {21} ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { - 5;0} \right);{A_2}\left( {5;0} \right);\) \({B_1}\left( {0; - 2} \right);{B_2}\left( {0;2} \right)\)

Độ dài trục lớn \(2a = 10\), độ dài trục bé \(2b = 4\).

LG b

\({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(a = 3;b = 2;\)

\({a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\)

\(\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 5 .\)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { - 3;0} \right);{A_2}\left( {3;0} \right);\) \({B_1}\left( {0; - 2} \right);{B_2}\left( {0;2} \right).\)

Độ dài trục lớn \(2a = 6\) , độ dài trục bé \(2b = 4\)

LG c

\({x^2} + 4{y^2} = 4.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 4} + {{y^2}\over 1} = 1\)

\( \Rightarrow a = 2;b = 1;\)

\({a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\)

\(\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3 .\)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { - 2;0} \right);{A_2}\left( {2;0} \right);\) \({B_1}\left( {0; - 1} \right);{B_2}\left( {0;1} \right).\)

Độ dài trục lớn \(2a = 4\), độ dài trục bé \(2b = 2\).