Bài 30 trang 60 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) và mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng 30⁰. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng \({3 \over 2}a\). Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính của đáy hình trụ bằng 5a.

Lời giải chi tiết

Vì hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) nội tiếp hình trụ nên \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp chữ nhật, trục hình trụ là OO₁ ( đoạn nối tâm hai đáy của hình hộp ) và khoảng cách từ OO₁ đến mặt phẳng \((AB{B_1}{A_1})\) bằng nửa AD. Từ đó AD = 3a.

BD là đường kính của đường tròn đáy hình trụ nên BD = 5a, suy ra

\(A{B^2} = B{D^2} - A{D^2} = 16{a^2}\), tức là AB = 4a,

Dễ thấy  \(\widehat {D{B_1}A}\)  là góc giữa \({B_1}D\) và mặt phẳng \((AB{B_1}{A_1})\), theo giả thiết thì  \(\widehat {D{B_1}A}\)  = 30⁰, từ đó \({B_1}D = 2AD = 6a.\)

Vậy \(BB_1^2 = {B_1}{D^2} - B{D^2} \)

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \;= 36{a^2} - 25{a^2} = 11{a^2} \cr 
& \Rightarrow B{B_1} = a\sqrt {11} \cr} \)

Do đó thể tích hình hộp đã cho là:

\(V = AB.AD.B{B_1} = 4a.3a.a\sqrt {11}  = 12{a^3}\sqrt {11} \)

Gọi O’ là trung điểm của \(O{O_1}\) thì O’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) và bán kính của mặt cầu đólà \(R = {1 \over 2}{B_1}D = 3a.\)

Từ đó thể tích hình cầu phải tìm là

\(V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {4 \over 3}\pi .27.{a^3} = 36\pi {a^3}.\)