Bài 27 trang 59 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình trụ có trục \({O_1}{O_2}\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với trục \({O_1}{O_2}\), cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó. Tính \(\widehat {{O_1}{\rm{O}}{{\rm{O}}_2}}\)  biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy hình trụ.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC.

Gọi M là trung điểm của AB thì \({O_1}M \bot AB,OM \bot AB\) và theo giải thiết, AO=AO₁.

Hai tam giác vuông MAO và MAO₁ có MA chung, \(OA = {O_1}A\) nên \(OM = {O_1}M.\)

Từ đó \(\widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_1}M}\)= 45⁰, do đó \(\widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_1}O_2}\) = 45⁰.

Dễ thấy \(\Delta {O_1}O{O_2}\) cân tại O, vậy \(\widehat {{O_1}{\rm{O}}{{\rm{O}}_2}}\)  =  90⁰.