Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\).
LG a
Xác định điểm \(I\) thuộc đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm \(I\) là nghiệm của phương trình \(f''\left( x \right) = 0\).
Giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;f''\left( x \right) = 6x - 6\)
\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1;f\left( 1 \right) = - 1\)
Vậy \(I\left( {1; - 1} \right)\)
LG b
Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\). Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C)\).
Giải chi tiết:
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) là
\(\left\{ \matrix{
x = X + 1 \hfill \cr
y = Y - 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(\eqalign{
& Y - 1 = {\left( {X + 1} \right)^3} - 3{\left( {X + 1} \right)^2} + 1 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X \cr} \)
Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) của nó nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
LG c
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\). Chứng minh rằng trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Phương pháp giải:
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến \(y = ax + b\) nếu \(f\left( x \right) < ax + b\) với mọi \(x<1\).
Giải chi tiết:
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I\) đối với hệ trục tọa độ \(Oxy\) là: \(y - {y_1} = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\,\, \Leftrightarrow y + 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = - 3x + 2\)
Đặt \(g\left( x \right) = - 3x + 2\)
\(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}\)
Vì \(f\left( x \right) - g\left( x \right)<0\) với \(x<1\)
Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.