Bài 29 trang 27 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xác định đỉnh \(I\) của mỗi parabol \((P)\) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).

LG a

\(y = 2{x^2} - 3x + 1;\)

Giải chi tiết:

\(y' = 4x - 3;y' = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over 4};y\left( {{3 \over 4}} \right) =  - {1 \over 8}\)

Đỉnh \(I\left( {{3 \over 4}; - {1 \over 8}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {3 \over 4} \hfill \cr 
y = Y - {1 \over 8} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y - {1 \over 8} = 2{\left( {X + {3 \over 4}} \right)^2} - 3\left( {X + {3 \over 4}} \right) + 1 \Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)

LG b

\(y = {1 \over 2}{x^2} - x - 3;\)

Giải chi tiết:

\(y' = x - 1;y' = 0 \Leftrightarrow x = 1;y\left( 1 \right) =  - {7 \over 2}\) 

Đỉnh \(I\left( {1; - {7 \over 2}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = 1 + X \hfill \cr 
y = - {7 \over 2} + Y \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y - {7 \over 2} = {1 \over 2}{\left( {X + 1} \right)^2} - \left( {X + 1} \right) - 3 \Leftrightarrow Y = {1 \over 2}{X^2}\)

LG c

\(y = x - 4{x^2}\);

Giải chi tiết:

\(y' = 1 - 8x;y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 8};y\left( {{1 \over 8}} \right) = {1 \over {16}}\)

Đỉnh \(I\left( {{1 \over 8};{1 \over {16}}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {1 \over 8} \hfill \cr 
y = Y + {1 \over {16}} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y + {1 \over {16}} = X + {1 \over 8} - 4{\left( {X + {1 \over 8}} \right)^2} \Leftrightarrow Y =  - 4{X^2}\)

LG d

\(y = 2{x^2} - 5\);

Giải chi tiết:

\(y' = 4x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left( 0 \right) =  - 5\)

Đỉnh \(I\left( {0; - 5} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X \hfill \cr 
y = Y - 5 \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y - 5 = 2{X^2} - 5 \Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)