Bài 3 trang 30 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 2\\\dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3}y = 1\end{array} \right.\)   

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\0,2x + 0,5y = 1\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}(1 + \sqrt 2 )x + y = 0\\x + (1 - \sqrt 2 )y = 0\end{array} \right.\) 

d) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y = 1\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 2\\\dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3}y = 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + y = 2\\4x + y = 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(\dfrac{4}{4} = \dfrac{1}{1} \ne \dfrac{2}{3} \Rightarrow \) Hệ phương trình trên vô nghiệm.

\(b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\0,2x + 0,5y = 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\2x + 5y = 10\end{array} \right.\)

Ta có: \(\dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{5} = \dfrac{{10}}{{10}} = 1 \Rightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.

\(\begin{array}{l}c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + y = 0\\x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + y = 0\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 0\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + y = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

\(\begin{array}{l}d)\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + y = \sqrt 2  + 1\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - 2y = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = \sqrt 2  - \sqrt 3 \\\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\\\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \dfrac{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)}}{3} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\\\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \dfrac{{2 - \sqrt 6  - \sqrt 2  + \sqrt 3 }}{3} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\\\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x = \dfrac{{1 + \sqrt 6  + \sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\\ \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt 6  + \sqrt 2  - \sqrt 3 }}{{3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\\x = \dfrac{{2\sqrt 3  + 2\sqrt 2  - 4}}{6}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}\\x = \dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 2  - 2}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 3  + \sqrt 2  - 2}}{3};\dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}{3}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.