Bài 27 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

LG a

Đồ thị hàm số \(y = {\cos ^2}x,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \pi ;\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Vì \({\cos ^2}x \ge 0,\forall x\) nên:

\(S = \int\limits_0^\pi  {\left| {{{\cos }^2}x} \right|dx} \) \(= \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx }\) \(= {1 \over 2} \int\limits_0^\pi  {\left( {1 + \cos 2x} \right)} dx\) \( = \left. {{1 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right)} \right|_0^\pi  \) \(= \frac{1}{2}\left( {\pi  + \frac{1}{2}\sin 2\pi  - 0 - \frac{1}{2}\sin 2.0} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\pi  + 0 - 0 - 0} \right)\) \(= {\pi  \over 2}\)

LG b

Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \root 3 \of x ;\)

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \(\sqrt x  = \root 3 \of x  \Leftrightarrow x = 0;x = 1\)
Trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì \(\root 3 \of x  \ge \sqrt x \) nên:

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\root 3 \of x  - \sqrt x } \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{{1 \over 3}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right)} dx\) \( = \left. {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} - \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_9^1\) \( = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right)} \right|_0^1 = {3 \over 4} - {2 \over 3} = {1 \over {12}}\)

LG c

Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} - 2{x^2}\) trong miền \(x \ge 0.\)

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Trong miền \(x \ge 0\) hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr 
{x^4} - 2{x^2} = 2{x^2} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr 
{x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Với \(0 \le x \le 2\) thì \(\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) - 2{x^2}\) \( = {x^4} - 4{x^2}\) \( = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) \le 0\)

\( \Rightarrow \left| {{x^4} - 4{x^2}} \right| = 4{x^2} - {x^4}\)

\( \Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) - 2{x^2}} \right|dx} \) \( = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - 4{x^2}} \right|dx} \) \( = \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {4.\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2\) \( = 4.\dfrac{8}{3} - \dfrac{{32}}{5} = \dfrac{{64}}{{15}}\)