Bài 25 trang 23 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là \(300km\). Vận tốc dòng nước là \(6 km/h\). Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là \(v (km/h)\) thì năng lượng tiêu hao của con cá trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\), trong đó \(c\) là một hằng số, \(E\) được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Lời giải chi tiết

Vận tốc của cá hồi khi bơi ngược là \(v – 6 (km/h)\). Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách \(300 km\) là: \(t = {{300} \over {v- 6}}\,\,\left( h \right)\)

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là:\(E\left( v \right) = c{v^3}.{{300} \over {v - 6}} = 300c.{{{v^3}} \over {v - 6}}\) (jun) với \(v>6\).

Đạo hàm \(E'\left( v \right) = 300c.{{3{v^2}\left( {v - 6} \right) - {v^3}} \over {{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 300c.{{2{v^3} - 18v} \over {{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 600c.{{{v^2}\left( {v - 9} \right)} \over {{{\left( {v - 6} \right)}^2}}}\)

Năng lượng cực tiểu khi: \(E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 9\)( vì \(v>6)\)

\(E\left( 9 \right) = 72900c\)

Bảng biến thiên:

Để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc ( khi nước đứng yên) là \(9 (km/h)\).