Bài 25 trang 119 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy \(a,b\) (\(a<b\)) và độ dài đường sinh là \(l\) (\(a,b,l\) có cùng đơn vị đo).

Lời giải chi tiết

Kí hiệu như hình vẽ.  \(SA=l_1;AB=l;OB=b;O'A=a.\)

Vì \(O'A//OB \Rightarrow \Delta SO'A \backsim \Delta SOB \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{{OA}}{{OB}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{l_1}}}{{l + {l_1}}} = \dfrac{a}{b} \Leftrightarrow b{l_1} = al + a{l_1} \Leftrightarrow {l_1}\left( {b - a} \right) = al \Leftrightarrow {l_1} = \dfrac{a}{{b - a}}l\)

Suy ra \(SB = l + {l_1} = l + \dfrac{a}{{b - a}}l = \dfrac{b}{{b - a}}l\)

Diện tích xung quanh hình nón lớn là \({S_1} = \pi .b.SB = \pi .b.\dfrac{b}{{b - a}}l = \dfrac{{{b^2}}}{{b - a}}\pi l\)

Diện tích xung quanh hình nón nhỏ là \({S_2} = \pi .a.SA = \pi .a.\dfrac{a}{{b - a}}l = \dfrac{{{a^2}}}{{b - a}}\pi l\)

Diện tích xung quanh hình nón cụt là \(S = {S_1} - {S_2} = \dfrac{{{b^2}}}{{b - a}}\pi l - \dfrac{{{a^2}}}{{b - a}}\pi l = \pi l.\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{b - a}} = \left( {a + b} \right)\pi l\)

Vậy diện tích xung quanh nón cụt là \(S = \pi \left( {a + b} \right)l\)