Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(AM\), song song với \(BD\) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).

Gọi \(G\) là giao điểm của \(SO\) và \(AM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\) nên \({{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\).
Mặt phẳng \((P)\) song song với \(BD\) nên \((P)\) cắt mp \((SBD)\) theo giao tuyến \(B’D’\) đi qua \(G\) và \(B’D’ // BD\), trong đó \(B’, D’\) lần lượt trên \(SB\) và \(SD\).

Có \(B’D’ // BD\) nên \({{SB'} \over {SB}} = {{SD'} \over {SD}} = {{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}\)
Mặt phẳng \((P)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần: Khối chóp \(S.AB’MD’\) và khối đa diện \(ABCDB’MD’\).

\({{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABD}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {2 \over 3}.{2 \over 3} = {4 \over 9} \) \(\Rightarrow {{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9}\)
(Vì \({V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABD}}\))
\({{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.CBD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3}.{2 \over 3} = {2 \over 9}\) \( \Rightarrow {{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 9}\)
Từ đó suy ra \({{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.AB'D'}} + {V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} \) \(= {2 \over 9} + {1 \over 9} = {1 \over 3}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{ABCDB'MD'}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AB'MD'}}\\
= {V_{S.ABCD}} - \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}
\end{array}\)

Vậy \({{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{ABCDB'MD'}}}}  = \frac{{\frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}}}{{\frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{2}\)

Cách khác:

Ta có: \(\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\)  (1)

Lại có: GB’ = GD’

=> S_ΔAB'M=S_ΔAD'M    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: