Bài 21 trang 141 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0\) (1) với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m = -5.

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

c) Tìm GTNN của biểu thức \(M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\).

Lời giải chi tiết

a) Thay \(m =  - 5\) vào phương trình ta có \({x^2} + 8x - 9 = 0\).

Ta có \(1 + 8 - 9 = 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} =  - 9\end{array} \right.\).

b) Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 1\left( {m - 4} \right)\)\(\, = {m^2} + 2m + 1 - m + 4\)\(\, = {m^2} + m + 5\)

Ta có \({m^2} + m + 5 \)\(\,= {m^2} + 2.m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \)\(\,= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} > 0 \Rightarrow \Delta ' > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) với mọi giá trị của m.

c) Ta có \(M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \)\(\, = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = \sqrt {4{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 4\left( {m - 4} \right)}  \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {4{m^2} + 8m + 4 - 4m + 16} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {4{m^2} + 4m + 20} \\ \Rightarrow M = \sqrt {4{m^2} + 4m + 1 + 19} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} + 19} \end{array}\)

Ta có \({\left( {2m + 1} \right)^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} + 19 \ge 19 \Rightarrow M \ge \sqrt {19} \).

Vậy GTNN của M bằng \(\sqrt {19} \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{2}\).