Bài 20 trang 8 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hai hình tứ diện ABCD và A^’B^’C^’D^’ có các cạnh tương ứng tỉ lệ, nghĩa là:

\({{A'B'} \over {AB}} = {{B'C'} \over {BC}} = {{C'D'} \over {CD}} = {{D'A'} \over {DA}} = {{A'C'} \over {AC}} = {{B'D'} \over {BD}} = k.\)

Chứng minh rằng hai tứ diện đã cho đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Gọi V là một phép vị tự tâm O tỉ số k ( O là điểm bất kì), \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là ảnh của tứ diện ABCD qua V.

Khi đó \({A_1}{B_1} = kAB,{B_1}{C_1} = kBC,{C_1}{D_1} = kCD,\)

\({D_1}{A_1} = kDA,{C_1}{A_1} = kCA,{B_1}{D_1} = kBD.\)

Vậy \({A_1}{B_1} = A'B',{B_1}{C_1} = B'C',{C_1}{D_1} = C'D',\)

\({D_1}{A_1} = D'A',{C_1}{A_1} = C'A',{B_1}{D_1} = B'D'.\)

Do đó tứ diện A’B’C’D’ bằng tứ diện \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) suy ra hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.