Bài 19 trang 8 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song: \(AB//A'B',AC//A'C',AD//A'D',\) \(CB//C'B',BD//B'D',DC//D'C'.\) Chứng minh rằng hai tứ diện nói trên đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Vì \(AB//A'B'\) nên có số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {A'B'} \). Ta chứng minh rằng khi đó, ta cũng có \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {A'D'} ,\overrightarrow {CB}  = k\overrightarrow {C'B'} ,\)

\(BD = k\overrightarrow {B'D'} ,\overrightarrow {DC}  = k\overrightarrow {D'C'} .\)

Thật vậy, hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số l và m sao cho \(\overrightarrow {AC}  = l\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {CB}  = m\overrightarrow {C'B'} \). Khi đó :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {A'B'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = k\left( {\overrightarrow {A'C'}  - \overrightarrow {B'C'} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow l\overrightarrow {A'C'}  - m\overrightarrow {B'C'}  = k\overrightarrow {A'C'}  - k\overrightarrow {B'C'}   \cr  &  \Leftrightarrow \left( {l - k} \right)\overrightarrow {A'C'}  = \left( {m - k} \right)\overrightarrow {B'C'} . \cr} \)

Vì hai vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(l - k = m - k = 0\), tức là l=m=k, vậy \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BC}  = k\overrightarrow {B'C'} \).

Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Xét trường hợp \(k = 1\). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {B'C'} ,...\)nên

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = ...\)

Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {AA'} \) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Nếu \(k \ne 1\) thì hai đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm O nào đó.

Khi đó, rõ ràng phép vị tự V tâm O tỉ số \({1 \over k}\) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Vậy trong cả hai trường hợp nói trên, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.