Bài 16 trang 8 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho phép vị tự V tâm O tỉ số \(k \ne 1\) và phép vị tự V^’ tâm O^’ tỉ số k^’. Chứng minh rằng nếu kk^’=1 thì hợp thành của V và V^’ là một phép tịnh tiến.

Lời giải chi tiết

Với mỗi điểm M, ta lấy M₁ sao cho \(\overrightarrow {O{M_1}}  = k\overrightarrow {OM} \)rồi lấy điểm M^’ sao cho \(\overrightarrow {{O'}M'}  = {k'}\overrightarrow {{O'}{M_1}} \) thì hợp thành V và V^’ biến điểm M thành M^’.

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {M{M'}}  = \overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}{M'}} \cr& =\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {{O'}{M'}}  - \overrightarrow {{O'}{M_1}}   \cr  &  = \overrightarrow {O{M_1}}  - {1 \over k}\overrightarrow {O{M_1}}  + {k'}\overrightarrow {{O'}{M_1}}  - \overrightarrow {{O'}{M_1}}   \cr  &  = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}}  + \left( {{k'} - 1} \right)\overrightarrow {{O'}{M_1}}   \cr  &  = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}}  + \left( {1 - {k'}} \right)\overrightarrow {{M_1}{O'}} . \cr} \)

Chú ý rằng vì kk^’=1 nên \({k'} = {1 \over k}\), bởi vậy đẳng thức trên trở thành :

\(\overrightarrow {M{M'}}  = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\left( {\overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}{O'}} } \right)\)\( = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O'}} .\)

Từ đó suy ra hợp thành của V và V^’ là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O'}} \).