Bài 19 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm M(2, 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho  là tam giác vuông cân tại đỉnh M.

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Giả sử \(A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right)\) là giao điểm của d với Ox, Oy.

Ta có: \(\overrightarrow {MA} \left( {a - 2; - 3} \right);\overrightarrow {MB} \left( { - 2;b - 3} \right).\)

\(\Delta ABM\) vuông cân tại M khi và chỉ khi AM = BM và AM vuông BM

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr 
MA = MB \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2\left( {a - 2} \right) - 3\left( {b - 3} \right) = 0 \hfill \cr 
\sqrt{{\left( {a - 2} \right)^2} + 9} = \sqrt{4 + {\left( {b - 3} \right)^2}} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 2a - 3b + 13 = 0\\{\left( {a - 2} \right)^2} + 9 = 4 + {\left( {b - 3} \right)^2}\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{2a + 3b = 13\,\,\,\left( 1 \right)\, \hfill \cr {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {b - 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Từ (1) suy ra \(b = {{13 - 2a} \over 3}\) thay vào (2) ta được:

\(\eqalign{
& {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {{{13 - 2a} \over 3} - 3} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + 5 = {{{{\left( {4 - 2a} \right)}^2}} \over 9} \cr 
& \Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 81 = 16 - 16a + 4{a^2} \cr 
& \Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 65 = 0 \cr} \)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.

Chú ý

Các em cũng có thể từ (1) rút \(a = \frac{{13 - 3b}}{2}\) thay vào (2) sẽ được phương trình \( 5{b^2} - 30b + 65 = 0  \) suy ra pt này vô nghiệm.