Bài 13 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều :
a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ;
b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau ;
c) Ba đường chéo bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(SABCDS’\) là khối tám mặt đều. Ba đường chéo của nó là \(SS’, AC\) và \(BD\). Bốn điểm \(A, B, C, D\) cách đều hai điểm \(S\) và \(S’\) nên cùng nằm trên một mặt phẳng.

Vậy \(ABCD\) là hình thoi, ngoài ra \(S\) cách đều \(A, B, C, D\) nên hình thoi đó là hình vuông. Suy ra hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, chúng vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. Tương tự đối với các cặp đường chéo còn lại.